Метод расчёта напряжённо-деформированного состояния анизотропных тел произвольной формы

Аннотация

В работе предложен метод расчёта напряжённо-деформированного состояния однородного анизотропного тела произвольной формы, ограниченного кусочно-гладкой поверхностью. Поведение тела описывается задачей анизотропной теории упругости. Вводится понятие базового решения оператора Ламе, аналогичного фундаментальному решению теории обобщённых функций и сингулярному решению уравнений математической физики. Доказывается, что базовое решение зависит от разности аргументов. Показывается, как с помощью базового решения, кратного преобразования Фурье, теорем о свёртке по конечному объёму и о свёртке по поверхности и опорных вектор-функций, выбранных надлежащим образом, в обход решения исходной задачи упругости строится тензор Грина исходной задачи. Предложенный метод позволяет получить аналитическое решение рассматриваемой задачи анизотропной теории упругости для тела произвольной формы и определить искомые компоненты вектора перемещений как функции координат точки тела для трёх основных задач теории упругости. Это задача с заданными на поверхности деформируемого тела перемещениями, задача с заданными на поверхности усилиями и задача с заданными на одной части поверхности перемещениями, а на другой части поверхности — усилиями. В качестве примера использования предложенного метода решена задача о деформировании анизотропной квадратной пластины со смещённым круглым вырезом. При численной реализации метода средствами программы MathCAD вместо кратного преобразования Фурье использовалось кратное дискретное преобразование Фурье. Количество точек разбиения при дискретизации принималось равным тридцати. Решение, полученное изложенным в работе методом, сравнивалось с известным решением задачи, при этом выяснилось, что графики известного решения и решения, полученного предложенным методом, совпадают.